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Aufgabe 1: Als Plasmahalbwertszeit definiert man diejenige Zeitspanne, die zwischen der Maxi-malkonzentration eines Arzneistoffes im Blutplasma bis auf den Abfall auf die H¨alfte diesesWertes verstreicht. Die Konzentration Ct zum Zeitpunkt t (gemessen in Stunden) l¨ in vielen F¨allen durch eine logarithmische Gleichung beschreiben, f¨ n¨aherungsweise bei einer Anfangskonzentration von C0 = 0.944 (gemessen in internationalenEinheiten I.E. Penicillin pro Milligramm) die Gleichung wobei k = 1.335 die Eliminationskonstante f¨ 1. Bestimmen Sie die Plasmahalbwertzeit von Penicillin.
2. Wie hoch ist die Konzentration nach 2 Stunden? 0 ⇔ log (Ct) = log (C0) − log (2) ⇔ −0.434 · k · t = − log (2) ⇔ t = 0.434 · k d.h. die Plasmahalbwertszeit betr¨agt n¨ahrungsweise 0.52 Stunden.
log (C2) = log (0.944) − 0.434 · 1.335 · 2 ≈ −1.184, d.h. die Konzentration C2 nach zwei Stunden betr¨agt ungef¨ Aufgabe 2: Betrachten Sie folgende Vektoren im R3: Welche der Vektoren sind orthogonal zueinander? Aufgabe 3: Welche der folgenden reellen Folgen (an)n∈N sind konvergent mit limn→∞ an = 2? Aufgabe 4: Diskutieren Sie folgende Funktion d.h. bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema, untersuchenSie das Monotonieverhalten und skizzieren Sie den Graphen von f .
ur x = 1 gilt, d.h. der max. Definitionsbereich ist R\{1}.
ur den Z¨ahler von f (x) gilt x2 − x + 1 = (x2 + 1) − x. Der erste Summand ist f¨ur alle x ∈ R positiv. Also kann f h¨ochstens positive Nullstellen haben. Andererseits giltx2 − x + 1 = (x − 1)2 + x. Der erste Summand f¨ur alle x ∈ R nicht-negativ. Also besitztf auch keine positiven Nullstellen.
(2x − 1) · (x − 1) − 1 · (x2 − x + 1) sowie mit der Quotienten- und Kettenregel (2x − 2) · (x − 1)2 − 1 · 2 · (x − 1) · (x2 − 2x) Somit gilt f ′(x) = 0 genau dann wenn x ∈ {0, 2}. Wegen f ′′(0) = −2 hat f in x = 0 einlokales Maximum und wegen f ′′(2) = 2 hat f in x = 2 ein lokales Minimum.
4. Es ist f ′(x) > 0 genau dann, wenn x < 0 oder x > 2. Also ist die Funktion f auf (−∞, 0) und (2, ∞) streng monoton steigend. F¨ur x ∈ (0, 1) ∪ (1, 2) gilt f ′(x) < 0, d.h. auf diesemBereich ist f streng monoton fallend.

Source: http://www.math.uni-muenster.de/u/lueck/lehre/WS2006-2007/MathNW1/testLoesungen.pdf